Fondamenti della meccanica atomica
e si trova immediatamente che, affinchè y1, y2risultino ortogonali e normalizzate, i coefficienti devono essere soggetti alle restrizioni
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Difatti, una prima coppia di autofunzioni ortogonali può essere costituita dalla Y1 stessa e da una opportuna combinazione lineare : basterà
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Condizioni (α): debba essere (1) Queste condizioni si presentano p. es. nel problema delle onde stazionarie in una corda fissa agli estremi. Un altro
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e quindi, se non sono entrambe nulle c1 e c2, dovrà essere
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funzioni di y: se ciò riesce, ciascuno dei due membri dovrà separatamente essere uguale ad una
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Si osservi che questa deve essere una identità rispetto ad x, y, z, e che, d'altra parte, x, y, z vi figurano solo attraverso la U: dovrà dunque
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D'altra parte, questa quantità deve essere uguale al numero medio delle particelle che nell'unità di tempo entrano nel volume S attraverso la
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Si riconosce subito che la E non può essere negativa (e quindi che k deve essere reale) perchè altrimenti la u diventerebbe infinita per o per , il
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e la funzione dovrà essere determinata in modo da soddisfare l'altra condizione iniziale, e cioè che sia
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(1) La costante arbitraria di modulo 1, per cui potrebbe essere moltiplicata , e quindi , non influisce sulle probabilità e quindi non ha importanza.
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la quale potrà essere reale o immaginaria, secondochè oppure .
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e poichè la u deve essere continua, insieme alla sua derivata prima, per x = O, le quattro costanti dovranno esser legate dalle relazioni
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rappresenta la frazione di particelle che vengono respinte indietro o riflesse, ovvero la probabilità che ha una particella di essere riflessa
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Una particella incidente ha dunque, secondo la meccanica ondulatoria, una certa probabilità R di essere riflessa (con la stessa velocità) e una certa
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Osserviamo poi che, perchè la u si conservi finita anche per , dovrà essere : tenuto conto di ciò, le (175) danno, come prima,
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si vede subito che, affinchè sia per e per x, (qualunque siano y, z, t), deve essere , con intero; e similmente per e : quindi
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e poichè la deve essere periodica a periodo nella (altrimenti la u non risulterebbe ad un sol valore per ogni punto dello spazio), dovrà essere
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dove si è scritto l'esponente senza doppio segno, con l'intesa che m possa essere positivo, nullo o negativo: l'intero m (col segno) si chiama
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e, poichè , e i due ultimi fattori si sono già normalizzati conformemente alle (231) e (244), risulta che R dovrà essere normalizzato in modo che sia
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da cui si ricava che A deve essere uguale al numero intero
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È importante rilevare che se n è piuttosto elevato, la (303) può praticamente essere sostituita dalla
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È noto che la teoria elettromagnetica della luce dimostra che all'energia raggiante W deve essere associata una «quantità di moto elettromagnetica» W
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e si osserva che il primo vettore deve essere la risultante degli altri due, si ha subito, dal triangolo OBC, per il teorema di Carnot,
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Riferendosi agli assi la lunghezza del vettore f può essere calcolata mediante la formula
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e si ricerchi la condizione perchè sia hermitiano. Applicando la (46), si vede che deve essere, per qualunque f,
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corrisponde un valore Ln di L (autovalore) (alcuni degli Ln potendo anche essere uguali tra loro).
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essere moltiplicata per una funzione arbitraria fn(y) delle y, senza cessare di soddisfare la (53), per cui anche si potrà considerare come
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Unica condizione richiesta alla funzione F(a) è di essere univocamente definita per tutti i valori An di a.
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(1) L'uso della funzione impropria può essere evitato sostituendola con il concetto di integrale di Stieltjes, come ha fatto sistematicamente il
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e poichè questo deve valere per qualunque deve essere
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Ora, si vede subito che questa equazione può essere soddisfatta prendendo
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Di tutti gli spettri, il primo ad essere interpretato fu quello dell'idrogeno atomico, che si presenta effettivamente come il più semplice, in
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Ciò premesso, vediamo come si imposta col metodo delle matrici la ricerca degli autovalori di un'osservabile G (che, in particolare, può essere
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Gli elementi della forma si deducono da questi osservando che, dovendo la matrice essere hermitiana, , e che quest'ultima quantità si ricava dalla
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Ora, affinchè il sistema ammetta soluzioni non tutte nulle, bisogna che si annulli il determinante dei coefficienti, ossia dovrà essere
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dove le k sono costanti, e, per l'hermiticità, deve essere . Siffatti operatori, applicati alla (238), sostituiscono le funzioni con due loro
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quindi, perchè sia , deve essere . Si ha poi
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e imponiamo a ciascuna di esse di essere anticommutativa con : si ha, per la (241),
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le quali sono lineari e omogenee in e . Poichè queste non sono entrambe nulle, dovrà essere
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le quali significano che dette matrici devono essere hermitiane. La formula diviene allora
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Affinchè questa si identifichi con la (256), deve essere:
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Può essere utile scrivere l'equazione cui soddisfa la . Dall'equazione di Dirac (271) si ha prendendone la coniugata (e notando che, se è una matrice
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Ora, questa può essere soddisfatta prendendo
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Le funzioni (347) risultano certamente nulle all'infinito se le serie si riducono a polinomi: detto n' il grado di questi, dovrà essere a tal uopo
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Di qui si traggono notevoli conseguenze. Supponiamo dapprima che En sia un autovalore semplice: in tal caso (2, 1) non può essere essenzialmente
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(1) Una permutazione è pari o dispari a seconda che può essere ottenuta con un numero pari o dispari di trasposizioni, cioè di scambi di due soli
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, per ciascuno di questi scambi o trasposizioni, il ragionamento del § precedente, e si giunge alla conclusione che la deve essere o simmetrica o
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Normalizzando e si trova che il modulo di questi coefficienti deve essere , cosicchè si può scrivere
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vaste categorie di fenomeni: però non devono essere intesi alla lettera, bensì devono essere intesi alla stessa stregua delle analogie idrauliche che
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Tale condizione può essere sempre soddisfatta, perchè, detta Y(x) una autofunzione che non la soddisfi, basta dividere questa per la costante non
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Accademia della crusca
